背投球幕实像投影系统设计初步分析及结论
背投球幕实像投影系统的特点及面临的问题
背投球幕由于形状的特殊性，其投影系统设计与正投系统有很大不同，在挪威3DP公司总部的技术支持下，今以专用程序对其规律进行直观的初步探索并得出一些初步结论，从而为未来可能的合作打下基础。
首先，考察普通投影图像在背投球幕上的特点。在空间中定义一个球幕，以半径1.7米、水平视角180度、垂直视景130度（-40度-90度）为例。在球幕赤道处放置一个配有0.8:1镜头的高清投影机，如下图所示：
由于球是中心对称几何体，以这种方式考察背投图像形状与投影距离的关系具有较大的普遍性。
程序模拟表明球面上的背投图像存在一个极限形状，即投影机光锥四面与球面相切时形成的图像，极限形状本身与所使用的投影镜头和球幕半径无关。产生极限图像时所对应的投影距离我们称为“极限距离”，极限距离与投影镜头的放大比（焦距）有关。以本例而言（0.8:1镜头），极限位置为投影机光心与球心距离2.6米。程序模拟表明，此时图像的四角会由于失焦而不可用，如下图所示：
由于现代投影镜头设计、加工技术较为成熟，高品质投影镜头的景深范围一般较大，短焦镜头的景深较长焦镜头要大。用0.8:1短焦镜头在背投球幕进行投影时，在极限投影距离内投影图像上除四角外图像其余部分景深差别并不是很大，我们认为基本可以清晰成像，如下图所示：
当投影距离超出极限距离时，虽然成像面距离之差（图中黄线部分）在加大，但同时投影距离也在增大，景深与投影距离成正比，投影距离越大景深也越大。据我们目前掌握的现场经验分析，因镜头景深不足而导致的失焦或许并不是背投球幕面临的最大问题。
我们认为，背投球幕实像系统面临的主要问题有3个：
1、图像面积不足与系统分辨率间的矛盾；
2、视锥定义与几何校正带来的图像质量下降之间的矛盾；
3、图像清晰度、即可用图像面积判定困难。
在投影距离相同的情况下，与正投实像系统相比，背投系统中的投影图像尺寸要小很多。虽然在极限距离内大部分图像均可保证成像质量，但因需要过多的投影机而变得不切实际。下图显示了使用传统方法以极限形状进行的设计过程，本例系统竟然需要21台投影机，并且投影机数量与屏幕半径、投影镜头的先择无关，只与系统视场角、投影图像宽高比有关。如此多的投影机在工程中性价比过低，系统过于复杂，显然是不可行的：
基于上述模拟，我们可以得出结论：在设计背投球幕实像系统时投影距离必须超过极限距离以增大投影图像面积，减少投影机数量。这一结论意味着投影图像必然存在像素浪费，系统分辨率必然较极限形状下降。
另一方面，与正投系统一样，背投系统存在几何畸变，几何校正是对图像进行拉伸或挤压的过程，这种形变必然会对最终图像质量产生影响，分析背投系统的几何畸变规律也是系统设计重要的一个方面。
最后，也是最为重要的，是针对不同投影距离下投影图像真正“可用”部分的确定。所谓“可用”，指既不严重失焦，也具有人眼可容忍的“像素方正度”(pixel squareness，简称PS值)。像素方正度通常是指像素的宽高比，此处还应加上对角线长度比，即曲面投影系统中的像素方正度是像素宽高比与对角线长度比中较大的一个。现代数字投影机（LCD、DLP）的像素是正方形的，即其像素方正度PS=1。一个像素被投射到曲面上后，由于对应曲面点的法向量与光轴存在一定角度，导致像素的PS值发生变化。根据曲面形状的不同、观察者位置的不同，人眼对PS值的忍受是不同的。遗憾的是，不同条件下人眼对PS值的忍受范围国际尚无明确报道，这或许是因为影响PS耐受性的因素过多而无法进行定量分析的缘故。在这里，针对背投球幕系统这一特定条件，我们可以通过一系列实验设法得到PS值的可接受范围，结合对聚焦范围的考察，最终通过程序进行投影系统的优化设计。本文以下部分首先给出几何校正分析，而后给出PS值分布图，最后设计现场实验以确定投影图像可用范围。根据这些结果，我们可以较为科学地对背投球幕虚像投影系统进行设计，为最终系统实施提供重要经验和数据。

背投球幕实像系统几何校正分析
按视景仿真系统几何校正原理，在IG图像空间均匀采点（称为控制点），对于每个控制点依设计视锥计算其对应的球幕上的三维点坐标，然后根据投影机内、外参数对这些三维点进行“观察”，得到其对应的几何校正后目标点坐标。本文采用理想的投影机模型及位置，内、外参数可以很容易地根据设计数据得到：
内参数：glFrustum(-0.075146,0.075146,-0.042270,0.042270,0.1,10000)
外参数：光心O(0,0,-2.6)，光轴方向V=[0 0 1]，向上向量U=([0 1 0]
由控制点和其几何校正后的目标点，可以理论计算出每个像素在几何校正过程中被“移动”的距离。为了直观了解图像几何校正的变形情况，可以设定一个阈值，像素移动距离在该值以下为绿色，越接近该阈值越暗，超过阈值即为红色，超过越多颜色越红。用这种可视化方法研究不同投影距离下几何校正对图像的拉伸度。
本文例子中我们以170像素为阈值，投影图像分辨率为1920x1080。首先研究极限距离时图像的几何畸变情况。程序模拟表明，在一定范围内，几何校正图像变形幅度与设计视锥的视场角成反比，与像素利用率亦成反比。也就是说，在合理范围内，设计视锥的水平视场角越小，几何校正带来的畸变越小，同时像素利用率也越低，反之亦然，模拟过程如下：
首先，设基于眼点的设计视锥为：Hfov=50°, Vfov=30°, heading=pitch=roll=0.0°
程序模拟知，此时所有像素几何校正移动距离均在阈值以下，如下图所示（蓝色代表设计视锥）：
图像的几何校正趋势图如下图，可以看到左、右各有约10%左右的图像损失掉了（最左侧一列和最右侧一列）：
将设计水平视场角变为Hfov=70°，几何畸变和设计视锥如下图所示，可以看到图像大部分区域几何拉伸较大：
此时几何校正趋势图如下，可见像素利用率提高了，只有四角位置的一点损失：
下面考察极限位置以外的情况。将投影机远离极限位置0.4米（距屏幕3.0米），此时部分图像已打出屏幕之外，如下图所示：
在极限位置以外，由于部分图像打出屏幕之外，无论怎样设计视锥，图像损失不可避免，下面各图显示了不同水平视角的几何校正趋势，此时垂直视角扩大到40度：
Hfov=100度
Hfov=90度
Hfov=80度
Hfov=70度
可见水平视角超过90度后图像利用率达到最大值，此时再增加水平视角只能导致几何畸变的增加。对应各个水平视场角的几何畸变图如下：
Hfov=100度
Hfov=90度
Hfov=80度
Hfov=70度
上述分析表明在极限位置之外，图像覆盖的水平和垂直范围都有所提高，合理地定义设计视锥反倒会使图像几何畸变减小。这正是我们在设计中需要利用的特点。下面继续将投影机后移，移至距离极限位置1.4米，即距球心4米处，此时视锥水平视角为100度，垂直视角增至60度，如下图所示：
图中可见几何畸变进一步减少，但图像利用率较低。
关于几何畸变与投影机位置、设计视锥的关系总结如下：
1、 背投球幕的投影机位置存在一个局部最佳值，该位置平衡了几何畸变、像素利用率、IG负担和图像质量。由于目前尚无法精确评价图像质量，最佳位置的选取仅考虑了几何畸变和图像利用率；
2、 当投影机镜头景深、像素正方度等影响图像质量的因素加入系统后，可以巧妙利用这些信息在上述所有参数间取得平衡，从而设计出全局最优的投影机位置，使得投影图像利用率最高、系统分辨率相对较高、几何畸变相对较小、图像质量可用、IG负担最低，同时还可计算出IG的Mask形状（如图像的四周），进一步减轻其实时渲染负担。
由上述的分析也可看出，背投球幕的投影系统设计限制因素远远多于正投系统，系统的各项指标对于投影机设计位置的选取极为敏感，各个通道的投影图像面积是不能随意增大或减小的，而是需要计算和分析多个参数，以全局最优为原则进行确定。

背投球幕实像系统像素方正度分析
像素方正度是评价投影图像质量的重要标准之一，该指标在曲面投影时显得尤为重要。像素方正度(pixel squareness，简称ps)是指屏幕上像素面元的横、纵尺寸比或两条对角线长度之比，可以反映像素由于屏幕表面法向变化受到的拉伸情况。Ps值过大的像素，虽然其对焦可能良好，但仍然无法清晰地成像。在数值模拟中，可以通过将投影图像放大取像素四角点和投影机光心连线与投影屏幕求交进行计算。目前DLP及LCD投影机的像素均为正方形，即ps=1.0。有关人眼对ps值的耐受情况国际尚未见报道，这或许是因为影响ps值及观察者感觉的因素较多，不同的屏幕曲面、不同的观察位置，甚至不同的图像内容和观察者对ps值的评价都会有所不同，在本项目中，我们只研究在轴背投球幕、观察者位于设计眼点的ps值耐受情况。
首先对ps进行数值计算，对计算结果进行可视化显示，设定一个阈值T，ps值接近1.0为绿色，越远离1.0越暗，超过阈值后为红色，距离阈值越远红色越亮。为此，对投影图像进行放样并与球幕求交，得到每个像素的四个角点，所得球幕上的像素角点如下图所示：
计算每个像素的ps值，设T=1.2，投影机距离极限距离0.4米（距球心3.0米），得到投影图像ps值图：
即按上述可视化方法得到的ps分布图（小于阈值部分）为八角伞形分布，ps最小值约为1.0，最大值为17.1259，发生在近赤道图像边缘：
下图显示了由于屏幕形状导致的像素变形：
将与ps值与阈值差小于0.001的像素用白色标注，如下图所示：
此时所对应的投影图像如下图：
随着阈值的改变，ps分布也在改变，但这种变化只是伞状分布区域的变化，伞形并不改变，下图为T=1.5时的ps分布图：

背投球幕实像系统像素方正度及景深实验
上述分析结果表明，我们可以在现场使用投影机在背投球幕上投射特定ps值所对应的图像，在球幕内眼点处对其进行观察，以此确定人眼对ps值的耐受程度，并将此作为设计阶段预判图像质量的标准之一。Ps值的耐受度可分为“完全可接受”、“基本可接受”和“不可接受”，“不可接受”即ps值在人眼耐受外，图像不可用。
根据上面的分析，用于测试人眼ps值耐受值的测试图像如下图(T=1.2)：
为了同时测试投影镜头的聚焦能力，可将上图与带有文字的图像混合。如下图：
由像素方正度引起的图像质量下降与由于失焦引起的图像模糊不同，后者可以通过调焦有所改善，而前者与聚焦无关。实验中可先确定人眼对ps的耐受阈值，再研究该值范围内的失焦情况。关于可接受聚焦范围的确定，方便起见建议用圆心位于图像中心、可改变半径的圆配合文字进行测试。最后，针对测试结果确定两个区域：清晰成像区和过渡区，前者可以保证满足人眼观测的图像质量，后者介于可接受与不可接受之间、即设计的边界区域，两个区域以外的区域图像不可用。
根据上述实验结果和几何校正及视锥定义的分析和计算，可以科学地对背投球幕投影系统进行切实可行的优化光路设计，并可以据此计算得出系统分辨率等技术指标，在系统各个方面求得合理的平衡，从而在实施前对该类系统显示效果有较为清晰的预判。